물체를 경사로 떨어뜨리는데 걸리는 최소 시간
높이가 h인 지점에 있는 질량 m의 물체를 벽에서부터 막대를 이용해 경사각이 θ인 경사까지 굴릴 때 걸리는 최소 시간은? 그리고 그때의 막대의 길이는?
문제만 놓고 보면 굉장히 쉬운 문제 같아보이지만 처음 접근할 땐 생각을 많이 해봐야한다. 이 문제를 풀어보기 전에 조금 더 쉬운 문제를 한 번 보자.
어떤 원에서 지표와 수직한 지름으로 공을 떨어뜨릴 때 걸리는 시간과 다른 호로 공을 떨어뜨릴 때 걸리는 시간이 같을까? 이건 자명하게 같다. 왜냐하면 둘 다 등가속도 운동을 하는데, 가속도의 비는 1 : sinθ이고, 거리비는 sinθ : 1이기 때문에 쉽게 알 수 있다.
그럼 이것을 이용해 이 문제를 풀어보자.
선분 PA를 지름으로 하는 원을 그리고, 그 원과 경사의 교점을 H라고 해보자. ∠PHA는 지름에 대한 원주각이므로 90˚일 것이다. 그리고 위에서 밝힌 사실에 의해서 공을 막대 PH로 떨어뜨리는데 걸리는 시간은 P에서 A로 자유낙하하는데 걸리는 시간과 같다. 이렇게 그리고 보면, 막대는 선분 AH위에 있는 어떤 점에 놓여야한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이제 이 원을 조금 더 축소해서 그려보자.
이번엔 원의 중심이 선분 PA 위에 있고, P를 지나면서 경사와 접하는 원을 그려보았다. 이 경우 막대 PX를 타고 내려가는 시간은 P에서 Y까지 자유낙하하는 시간과 같다. 이 그림에서 다른 모든 막대들을 그려보았을 때 이 시간보다 짧게 내려갈 수 있는 시간은 없다. 따라서 구하는 막대는 바로 PX가 된다. 이제 계산해주는 일만 남았다.\
H : |P에서 경사까지 내린 수선의 발|
E : |⊙PXY의 중점|
∠EPX = ∠EXP (△PEX 이등변삼각형)
= ∠XPH (∠EXA =∠PHX=90˚⇔EX//PH)
∴PX는 ∠APH의 이등분선
→ ∠XPH = ½∠APH = ½θ
→ |막대의 길이 = PX = PH sec½θ = h cosθ sec½θ
→ |막대의 길이| = ½ g cos½θ |걸리는 시간|²
∴ |걸리는 시간| = (2h cosθ / g cos^2 ½θ)^1/2
이렇게 최소 시간과 길이를 구할 수 있다. 근데 여기까지만 하면 아쉽기 때문에 조금 더 일반화를 해보자.
let) Q∈AH, ∠GPH = x
|막대 길이| = L = PH sec x = h cos θ sec x
|가속도| = a = g sin(π/2 - (θ - x)) = g cos(θ - x)
∴t = (2L/a)^1/2 = (2h cos θ / g cos x cos(θ - x))^1/2
t가 최소 ⇔ cos x cos(θ - x) 가 최대 (분모)
let) f(x) = cos x cos(θ - x)
→df(x)/dx = sin x cos(θ - x) + cos x +(-1)(-sin(θ - x))
= sin(θ - 2x)
∴ x =θ/2일 때 f(x)가 극대값을 가짐.
→ PQ가 ∠APH의 이등분선일 때 t가 최소
이렇게 함수를 만들어 미분을 이용하면 최소를 쉽게 구할 수도 있다.