공이 달린 막대가 회전하는 데까지 걸리는 시간 (꽤 어려움)
크기를 무시할 수 있는 질량 m인 물체가 질량과 폭을 무시할 수 있는 길이 l인 막대 끝에 달려있다고 하자. 이 물체를 오른쪽으로 아주 살짝 밀었을 때 막대가 회전하여 물체가 지면에 닿을 때까지 걸리는 시간은?
보기보다 꽤 어려우니 충분히 고민해봤으면 좋겠다..
1. 첫 번째 접근
어짜피 물체는 막대에 매달려서 원 궤도로만 운동하기 때문에 원궤도의 접선 방향의 가속도만 고려해서 직선 운동처럼 접근하려고 했다.
연직선으로부터 기울어진 각도를 θ라고 할 때 접선 방향 가속도는 g sinθ이다. 이 상황에서 원궤도를 직선으로 바꾸어보자.
lθ만큼 진행했을 때 가속도가 g sinθ이고 최종적으로 πl/2를 가는 상황과 같다. 여기서 구간을 무한히 쪼갠다음 각각의 구간에 대해서 등가속도 운동을 한다고 가정하여 시간 합을 구하면 된다 ....인 줄 알았지만 식이 너무 복잡해서 나의 실력으로 간단히 할 수가 없고, 애초에 식이 잘 세워진 건지도 잘 모르겠다. 그래서 이 방법보다 쉬운 방법이 있기를 기대하며 포기하였다.
2. 두 번째 접근
공이 막대에 달려있다고 하더라도 전체 역학적에너지는 보존되기 때문에 이를 이용하여 θ만큼 기울어졌을 때의 속력을 알 수 있다.
θ만큼 기울어졌을 때 원래 상태와 높이 차이가 l(1 - cosθ)이므로 역학적 에너지 보존에 의해 다음 식이 성립한다.
따라서 접선속도 v는 아래와 같다.
이 공이 원 운동을 하므로 각속도를 이용해보자. v = rw이고 r = l 이므로 다음 식이 성립한다.
이제 양변에 역수를 취하고 dt만 남긴다음 양변을 적분해주면 전체 시간 T가 나온다!!
드디어 전체 시간 T를 그나마 간단한(?) 식으로 표현할 수 있게 되었다. 이제 해야할 것은 위 식에서 이상하게 생긴 정적분 값을 구하는 일만 남았다.
이 식을 WolframAlpha에 넣어보면 값을 구해줄 수 있을 것이다!!!
구한 식대로 라면 공이 지면에 닿을 때까지 걸리는 시간이 무한대가 되어야한다. 이게 말이 될까? (진짜로 몰랐음)
아주 똑똑한 친한 친구에게 물어봤는데 해답을 찾았다. 사실 문제의 가정이 조금 잘못됐었다. 문제에서 공을 아주 살짝 민다고 했는데 아주 살짝 밀면 중력가속도가 0에 수렴하기 때문에 아예 움직이지 않아, 시간이 무한대로 발산하는 것이 당연한 결과였다. 그래서 문제를 초기에 θ_{0}만큼 기울어져있는 상태로 바꿔야한다. 그래서 이에 대한 시간을 다시 구하면,
이런 멋진(?) 식이 나온다. 식이 생각한 것보단 깔끔하진 않지만 그래도 의미있는 결과인 것 같다.
<추가적으로 Processing으로 구현해본 결과>
막대의 길이를 다르게 설정하면 그 길이의 제곱근에 비례한 형태로 시간이 잘 나온다.