물체가 복사 평형에 도달하는데까지 걸리는 시간
내신 공부를 위해 과학 공부를 하고 있던 중 친한 친구가 떨어진 거리나 비열에 따라서 복사 평형에 도달하는 시간이 어떻게 되냐라고 물어봐서 탐구해보게 되었다. 복사 평형은 물체가 흡수하는 에너지의 양과 물체의 온도에 의한 복사에너지의 양이 같아질 때 온도가 일정하게 유지되는 상태를 말한다. 이를 그래프로 나타내어 보면 아래와 같이 표현된다.
물체는 (흡수하는 에너지량) - (방출하는 에너지량) 만큼의 에너지로 자신의 온도를 변화시킨다. 이 점을 이용해서 시간을 계산해볼 것이다. 먼저 사용할 공식을 먼저 써보자.
여기서 위의 식은 대부분이 알 것이라 생각하고, 밑의 식은 슈테판-볼츠만 법칙으로 M은 단위 시간, 물체의 단위 면적 당 물체가 방출하는 복사에너지를 의미한다. 시그마는 슈테판-볼츠만 상수로 그냥 상수이고, 입실론은 물체의 방출률이라는 고유한 성질이다. 마지막으로 T는 물체의 절대 온도를 의미한다. 이를 바탕으로 구해보자.
먼저 구형 물체와 점광원이 있다.
위와 같이 변수들을 정해주자. 그러면 구형 물체가 시간 당 흡수하는 에너지의 양은 아래와 같다.
또 시간 당 방출하는 에너지양은 슈테판 볼츠만 법칙에 의해 아래와 같다.
또한 복사 평형에 도달하는 온도는 흡수하는 에너지양과 방출하는 에너지양이 같을 때의 T이므로 아래와 같다.
이를 바탕으로 식을 세워보면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
이제 정적분값만 계산해주는 일이 남았다. 계산을 해보면 T1에 가까울 때 무한대로 커져서 결국 무한대가 나온다.
어떻게 시간이 무한대가 나올 수 있을까?
사실 물체는 복사 평형 온도에 도달하지 못하고 끊임없이 그 온도로 수렴하는 것이다. 따라서 절대 그 온도에 도달하진 않지만 무한히 가까워질 순 있다.
복사평형이 열평형의 일종이므로 열평형도 마찬가지이다. 이 사진은 어떤 사람이 열평형까지 걸리는 시간을 질문한 내용인데 여기서 답변으로도 시간이 이론적으로 무한대가 나온다고 설명하고 있다. 또 그 온도에 매우 가까운 온도까지 걸리는 시간을 보는 것이 좋다고 말한다. 따라서 식을 다시 세워보자.
정적분을 깔끔하게 풀어 쓰진 못하겠지만 이 식에서 알 수 있는 점은 시간이 물체의 열용량에 비례하고, 그 물체의 크기의 제곱에 반비례한다는 것이다. 또한 광원과 물체의 사이가 멀 수록 시간이 오래걸린다는 것을 알 수 있다.
추가적으로 이 상황을 Processing으로도 구현해보았다.
계산의 편의를 위해 상수들은 다 제거 했고 초기 온도를 90K, 복사 평형 온도를 100K으로 잡았다.
이 프로그램을 실행하면 다음과 같이 나타난다. 온도가 처음에는 빠르게 상승했다가 시간이 지날 수록 상승하는 정도가 느려지고 100K에 계속 가까워지는 것을 볼 수 있다. 코드에서 변수들을 바꿔서 실행해보면 위의 식이 잘 성립한다는 것을 알 수 있다.