FTC$($Fundamental Theorem of Calculus$)$ 증명

 

 

$FTC$는 Fundamental Theorem of Calculus(미적분학의 기본 정리)로 미적분을 배운다면 알 수밖에 없는 가장 기본적인 정리이다. 나중에 증명과정이 필요할 수도 있기 때문에 증명과정을 정리해보겠다.

 

$F.T.C.\space1)$ 구간 $[a,b]$에서 연속인 $f(x)$와 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$ 에 대해 다음이 성립한다. 

$$F^{\prime}(x) = f(x)\space\space (x\in [a,b]) $$

 

p.f) $$F^{\prime}(x)=\lim_{h→0}\frac{F(x+h)−F(x)}{h}$$

$$=\lim_{h→0}\frac{\int_{a}^{x+h}f(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt}{h}$$

$$=\lim_{h→0}\frac{\int_{a}^{x+h}f(t)dt+\int_{x}^{a}f(t)dt}{h}$$

$$=\lim_{h→0}\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}$$

여기서 $f(x)$는 구간 $[a,b]$에서 연속이므로 최대 최소 정리에 의하여 $\exists v, u \in [a,b] \space s.t. \space\forall x\in [a,b],\space f(v) = m \leq f(x) \leq f(u) = M$

$$f(v) = m \leq f(x) \leq f(u) = M$$

$$\Rightarrow \int_{x}^{x+h} m\space dt \leq \int_{x}^{x+h} f(t)\space dt\leq \int_{x}^{x+h} M\space dt$$

$$ \Rightarrow m(x+h-x) = mh \leq \int_{x}^{x+h} f(x)\leq M(x+h-x) = Mh$$

$$f(v) = m \leq \frac{\int_{x}^{x+h} f(t)\space dt}{h}\leq f(u) = M$$

$$\Rightarrow \lim_{h \rightarrow 0}f(v) = f(x) \leq \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\int_{x}^{x+h} f(t)\space dt}{h}\leq \lim_{h \rightarrow 0}f(u) = f(x)$$

$$\therefore F^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\int_{x}^{x+h} f(t)\space dt}{h} = f(x)$$

$F.T.C.\space2)$ 구간 $[a,b]$에서 연속인 $f(x)$와 $F^{\prime}(x) = f(x)$를 만족하는 $F(x)$에 대해 다음이 성립한다.

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$$

 

p.f) $$F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt\space\space(by\space FTC\space 1)$$

$$\Rightarrow F(b) = \int_{a}^{b} f(t)dt$$

$$\Rightarrow F(a) = \int_{a}^{a} f(t)dt = 0$$

$$\therefore F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(t)dt - 0 = \int_{a}^{b} f(t)dt$$