몬즈의 정리(Monge's Theorem)

 

 

 

 

 

몬즈의 정리(Monge's Theorem)는 KMO 2차에 자주 나오는 정리로 근축에 대해 배울 때 꼭 배워야히는 정리 중 하나이다. 여기서는 몬즈의 정리와 이와 관련된 재미있는 문제 몇 개를 풀어볼 것이다.

몬즈의 정리 : 세 원 A,B,C가 두 점에서 서로 교차할 때, 세 공통현은 한 점에서 만난다. ( 세 원의 근축들은 공점선이다.)

 

참고하면 좋은  사이트 : https://en.wikipedia.org/wiki/Power_center_(geometry)

Power center (geometry) - Wikipedia

 

 

 1. 몬즈의 정리(Monge's Theorem) 증명

 

 몬즈의 정리의 증명은 근축을 잘 이해하고 있다면 아주 쉽게 증명할 수 있다. 

 

증명)

 

 세 원 $C_{1}, C_{2}, C_{3}$가 있고, $C_{1}, C_{2}$의 두 교점, $C_{2}, C_{3}$의 두 교점, $C_{3}, C_{1}$의 두 교점을 각각 $P_{3}, I, P_{1}, K, P_{2}, H$라고 하자. 직선 $\overline{P_{3}I}$와 직선 $\overline{P_{2}H}$의 교점을 $R$이라고 하자. 직선 $\overline{P_{3}I}$는 $C_{1}$, $C_{2}$의 근축이고, 직선 $\overline{P_{2}H}$는 $C_{1}, C_{3}$의 근축이므로 점 $R$에서는 $C_{1}, C_{2}, C_{3}$와의 방멱값이 모두 같다. 따라서 $R$은 근심이고, $C_{2}$와 $C_{3}$의 근축인 직선 $\overline{P_{1}K}$ 위에도 존재한다. 

 

 세 원이 교차하고 있지 않더라도 세 원의 근축이 공점선이라는 것은 똑같이 증명할 수 있다.

 

 

2. 문제

 예각 삼각형$ABC$와 외접원 $w$가 있다. $∠A$의 이등분선이 $w$와 만나는 점을 $M, \overline{BC}$에 평행한 직선이 $ \overline{AC}, \overline{AB}$와 만나는 점을 각각 $X, Y$라 하고 $ \overline{MX}, \overline{MY}$가 $w$와 만나는 점을 각각 $S,T$라 하고, $ \overline{XY}$와 $ \overline{ST}$의 교점을 $P$라 할 때, $ \overline{PA}$가 $w$의 접선임을 증명해라.

  

Solution)

 

 먼저, $S,X,Y,T$가 공원점이라고 생각해보자. $\Box SXYT$의 외접원, $△AXY$의 외접원, △$ABC$의 외접원(원 $w$)을 보면, 직선 $\overline{TS}$와 직선 $ \overline{YX}$,  접점이 $A$인 원 $w$의 접선이 모두 근축이라는 사실을 알 수 있다. 따라서 $ \overline{PA}$가 접선일 필요충분조건은 몬즈의 정리에 의해 $S,X,Y,T$가 공원점인 것이다. 

 

W.T.S  $S,X,Y,T$ 공원점 ⇔ $∠TYX = ∠PSM$ (내대각)

                                                   $= ∠TBM$ ( $\Box TBMS$에서 내대각)

∠TYX = ∠TYA + ∠AYX

          = ∠BTY + ∠TBY + ∠ABC

          = ∠MCB + ∠TBY + ∠ABC

          = ∠TBM

 

 

 두 개의 반지름이 다른 원 $C_{1}, C_{2}$는 서로 다른 두 점 $M, N$에서 만난다. $C_{1}, C_{2}$는 가각 중심이 $O_{1}, O_{2}$이고 중심이 $O$인 원에 모두 내접한다. 접점을 각각 $S,T$라 하자. $\overline{OM} ⊥ \overline{MN}$임과 $S,N,T$ 세 점이 일직선에 놓임은 필요충분조건임을 증명하여라.

 

Solution)

점 $X$를 세 원 $C_{1},C_{2},O$의 근축들의 교점이라고 하자.

점 $Y$를 선분 $ \overline{OX}$와 선분 $\overline{ST}$의 교점이라고 하자.

 

1) $S,N,T$ 공선점 ⇒ $\overline{OM} ⊥ \overline{MN}$ 증명

$∠OSX = ∠OTX = 90^{\circ}$

$\angle OYS = 90^{\circ}$

$\angle SOX = \angle ●$  라고 하자.

$\angle STX = \angle SOX = \angle ●$  (O,S,X,T가 공원점)

⇒ $∠OST = 90^{\circ} - \angle ●$

⇒ $\angle SO_{1}N$ = 2 ∠ ● ( $\triangle S{O_{1}}N$이 이등변삼각형)

⇒ $∠SMN = ∠●$

 

∴ $∠SMN = ∠SOX = \angle ●$ 이므로 $S,M,T,X$ 공원점

⇒ $O,S,X,T$ 도 공원점이므로 $S,M,T,X,O$ 공원점

⇒ $\angle OMN = \angle OMX = 180^{\circ} - \angle OTX = 90^{\circ}$

 

2) $\overline{OM}$  ⊥ $\overline{MN}$  ⇒ S,N,T 공선점 증명

$\angle OMN = 90^{\circ}$

⇒ $O,M,S,X,T$ 공원점

선분 $\overline{ST}$ 와 직선 $\overline{MN}$ 의 교점을 N'이라하자.

W.T.S  $N = N^{\prime}$

$\angle SN^{\prime} X = \angle SMN + \angle MST$

             = $\angle MXT + \angle XTS$  ($\angle MST = \angle XTS$ 인 이유는 1)에 나와 있음)

             =  $\angle SNX$                                           

 

 

 

 

 

 중심이 O이고, △ABC의 꼭짓점이 A와 C를 지나며 변 AB, BC와 각각 B가 아닌 점 K와 N에서 만나는 원이 있다.
△ABC의 외접원과 △KBN의 외접원이 정확히 두 점 B와 M에서 만나면, ∠OMB는 직각임을 증명하시오.

 

증명)

 

 세 원의 근축들의 교점을 $X$라 하자.

또, 선분 $\overline{AM}$위에 선분$\overline{ND}$ // 선분 $\overline{BM}$이 되도록 하는 점 $D$를 잡자.

$∠MDN = ∠DMX$

            = $∠ACB$

$⇒A,D,K,N,C$ 공원점

$\angle MDN = \angle C = \angle BKN$

           = $∠BMN$

           = $∠MND$

⇒선분 $\overline{MD}$ = 선분 $\overline{MN}$

선분 $\overline{DO}$ = 선분 $\overline{NO}$ 이므로 사각형 $\Box MDON$ 에서 선분 $\overline{OK}$⊥선분 $\overline{DN}$

⇒선분  $\overline{OM}$  ⊥ 선분 $\overline{MB}$