경기과학고등학교 수학 브릿지 프로그램으로 수리창의문제해결 프로젝트라는 것을 하길래 문제를 풀어보았다. 1차 문제로 2개가 있었는데 하나는 사고력$(?)$을 요하는 증명 문제였고 나머지 하나는 경우의 수를 세는 기하문제였다. 이 기간동안 몸이 좀 아파서 집에만 있었는데 친구들 풀이 읽고 문제 풀고 하는게 재미있어서 이것만 했었다 ㅎㅎ
P1.
이 문제에는 어떤 한 열쇠 구멍을 돌릴 때, 그 열쇠 구명과 같은 열, 같은 행에 있는 모든 열쇠 구멍도 똑같이 돌아가지는 이상한 금고가 나온다. 이 금고에서 모든 구멍이 바닥과 수평인 방향의 모양으로 바꾸어 금고를 열 수 있는지 증명하는 문제이다.
처음에 친구들이 불가능하다고 증명을 해놨었는데 친구들의 풀이를 다 읽어보니까 공통적인 오류가 보였다. 그래서 열 수 있을 것이라는 희망을 가지고 이 문제를 접근했다. 이런 종류의 문제는 적절한 시행들을 통해 어떤 임의의 칸 하나만 조작할 수 있다는 것을 보이면 증명이 된다. 그래서 어떤 칸에 대해 나머지 칸들의 기우성 혹은 상태를 바꾸지 않고 그 칸만 조작할 수 있는 시행을 찾으려고 했다. 그로부터 대략 10분정도 고민한 끝에 나머지 칸들의 기우성을 보존시키는 시행을 찾아서 이를 통해 쉽게 가능함을 증명했다. 최초로 가능함을 증명해서 뿌듯했다.
풀이)
○열쇠 구멍의 각각의 상태를 순서대로 0,1,2,3으로 표기. ○$(i,j)$위치의 칸에 대한 문제에서 주어진 시행 $S_{(i,j)}$로 표기.
Let $M_{(i,j)} := \left\{S_{(i,k)}\mid1\leq k\leq8, \space k\in\mathbb{N}\right\}\cap\left\{S_{(k,j)}\mid1\leq k\leq8, \space k\in\mathbb{N}\right\}$ $M_{(i,j)}$ 시행 후 $(i,j)$는 15번 회전하므로 위상이 $-1\space (mod\space 4)$만큼 변함. 또 $(i,j)$를 제외하고 $(i,j)$와 같은 행 또는 열에 포함되는 칸들은 8번 회전하므로 $0\space (mod\space 4)$ 만큼 변함. 이들을 제외한 나머지 칸들은 2번 시행되므로 $2\space (mod\space 4)$ 만큼 변함.
Claim 1) 유한 번의 시행으로 모든 칸을 짝수로 만들 수 있다. p.f) 홀수 칸 $(m,n)$에 대해 $M_{(m,n)}$ 시행. $(m,n)$칸의 위상이 $-1 \space (mod \space 4)$만큼 변하므로 기우성이 짝수가 됨. 또한 나머지 칸들의 기우성 변화 없음. 따라서 홀수칸의 개수가 줄어듬.
Claim 2) 임의의 짝수인 칸을 다른 칸들의 상태 변화 없이 0으로 만들 수 있다. p.f) 상태가 2인 칸 $(m,n)$에 대해 $M_{(m,n)}$ 2번 시행. $(m,n)$칸의 위상이 $-2\space (mod\space 4)$ 만큼 변하므로 0이 됨. 또한 나머지 칸들은 $2\times 2\space (mod\space 4)$ 혹은 $0\space (mod\space 4)$ 만큼 변하므로 상태가 변하지 않음.
따라서 Claim 1 과 Claim 2를 통해 가능함이 증명됨.
P2.
이 문제는 변의 길이가 3, 3, 4, 4인 볼록사각형의 개수를 구하는 문제이다. 이 문제같은 경우는 다른 친구들 대부분이 넓이를 삼각함수로 표현해서 깔끔하게 잘 풀었다. 그래서 다른 친구들과 다르게 정수론적으로 멋지게 풀고 싶다는 생각을 했는데 그러기가 쉽지 않았다. 대신 대각선을 미지수로 잡고 헤론의 공식 변형을 통해서 넓이를 미지수에 관한 방정식으로 만들고 그 값에 범위와 그 범위에 대한 해의 개수를 세주는 대수적인 방식으로 시도하였다. 사실 굳이 이렇게 할 필요는 없지만 시도해본 김에 풀이를 완성하였다.
풀이)
Case 1) 연꼴 사각형인 경우
Let $\overline{AC} = x$ $\Box ABCD = 2\triangle ABC = 2\times \frac{1}{4}\sqrt{24^2-(25-x^2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{24^2-(25-x^2)^2}$ 이때 삼각부등식에 의해 $1\space <\space x\space <\space7$이고 볼록사각형이므로 $x\space >\space\sqrt{7}$. $\therefore 0<\Box ABCD\leq 12$ 이고 넓이가 자연수임. 1. $\Box ABCD = 1, ... ,7$ -> $x\space >\space\sqrt{7}$이므로 만족하는 $x$ 각각 1개씩 존재 2. $\Box ABCD = 8, ...,11$ -> 만족하는 $x$ 각각 2개씩 존재 3. $\Box ABCD = 12$ -> 중근을 가지므로 $x$ 1개 존재. $\therefore$ 16개.
Case 2) 평행사변형인 경우
평행사변형의 높이를 h라고 하자. $\Box ABCD = 3h$ $\therefore h = \frac{n}{3}$ $0<h<4$이므로 $0<n<12$ $\therefore$ 12개.
