yeongminb의 PS 블로그

학원에서 수업시간에 딴짓$($?$)$을 하다 학원 벽에 '주어진 삼각형을 유한개의 오목사각형으로 채울 수 있을까?'라는 문장이 무려 '낙서'로 써져있는 것을 봤다. 못 채울 것이라는 생각을 가지고 몇 번 그림을 그려보니 정말 채워지지 않았다. '오 이거 증명해봐야겠다!'라는 충동을 느끼고 학원에서 증명해보았다. 생각보다 잘 증명한 것 같아서 여기에 남겨보았다.   주요 아이디어는 삼각형에만 국한하지 않고 일반적인 볼록다각형에 대해서 채울 수 있는지를 확인하는 것이었다. 삼각형은 항상 볼록하므로 일반적인 볼록다각형에 대해서 불가능하다는 것을 증명하는 것으로 충분하다. 그래서 오목사각형으로 이루어진 도형이 오목할 수 밖에 없다는 것을 증명하였다.  Proposition 1) 임의의 오목다각형에 오목사각형을 ..

경기과학고등학교 수학 브릿지 프로그램으로 수리창의문제해결 프로젝트라는 것을 하길래 문제를 풀어보았다. 1차 문제로 2개가 있었는데 하나는 사고력$(?)$을 요하는 증명 문제였고 나머지 하나는 경우의 수를 세는 기하문제였다. 이 기간동안 몸이 좀 아파서 집에만 있었는데 친구들 풀이 읽고 문제 풀고 하는게 재미있어서 이것만 했었다 ㅎㅎ  P1.  이 문제에는 어떤 한 열쇠 구멍을 돌릴 때, 그 열쇠 구명과 같은 열, 같은 행에 있는 모든 열쇠 구멍도 똑같이 돌아가지는 이상한 금고가 나온다. 이 금고에서 모든 구멍이 바닥과 수평인 방향의 모양으로 바꾸어 금고를 열 수 있는지 증명하는 문제이다.    처음에 친구들이 불가능하다고 증명을 해놨었는데 친구들의 풀이를 다 읽어보니까 공통적인 오류가 보였다. 그래서 열..

KMO 2차에 수열 관련해서 수학적 귀납법으로 증명하는 문제가 많이 보이는 것 같아서 가장 대표적인 수열인 피보나치 수열에 대해 정리해보려고 한다. PS에서도 자주 나오니까 도움이 될 것 같다.   2023 중캠 2차 3번 (AOPS링크) Math Message Boards FAQ & Community Help | AoPSSomething appears to not have loaded correctly.artofproblemsolving.com  피보나치 수열 관련된 문제로 이런 문제가 있는데, $a_{n} = 4{F_{2n-1}}^2 + {F_{2n}}^2$임을 증명하는 (더러운)문제이다. (솔직히 사람이 이걸 어떻게 생각하는지 모르겠다)  정의피보나치 수열은 자연수 $n$에 대해 아래와 같이 정의된..

$FTC$는 Fundamental Theorem of Calculus(미적분학의 기본 정리)로 미적분을 배운다면 알 수밖에 없는 가장 기본적인 정리이다. 나중에 증명과정이 필요할 수도 있기 때문에 증명과정을 정리해보겠다. $F.T.C.\space1)$ 구간 $[a,b]$에서 연속인 $f(x)$와 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$ 에 대해 다음이 성립한다. $$F^{\prime}(x) = f(x)\space\space (x\in [a,b]) $$ p.f) $$F^{\prime}(x)=\lim_{h→0}\frac{F(x+h)−F(x)}{h}$$$$=\lim_{h→0}\frac{\int_{a}^{x+h}f(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt}{h}$$$$=\lim_{h→0}\frac{..

이항게수와 관련된 PS를 하다가 범위가 큰 $n$과 범위가 큰 $r$에 대해서 ${n \choose r}$의 일의 자리 수를 구해야하는 일이 생겼다. 일반적인 콤비네이션 계산($O(n)$)을 하고 일의 자리수를 구하면 시간초과가 나서 다른 방법이 필요했다. 이 포스팅에서는 이와 관련된 내용을 적어보려고 한다.1. 조합을 계산하는 일반적인 방법 가장 쉬운 방법으로는 정의식대로 $n!$, $(n-r)!$, $r!$을 모두 계산해주고 연산해주는 것이다. 하지만 $n$과 $r$이 조금만 커져도 계산 시간이 오래걸리고 PS에서는 정수형 범위나 심지어는 long long 범위까지 넘어갈 수 있기 때문에 좋지 않은 방법이다.int factorial(int n){ int output = 1; for(int ..

아마 대부분의 사람들이 픽의 정리를 들어본 적이 없을 것이다. 우리나라 교과과정에도 없고 KMO에서도 전혀 나오지 않는 내용이기 때문이다. 최근에 학원에서 이 정리에 대해 짧게 배운 적이 있다. 학원에서 들었을 때 꽤 흥미롭고 재미있어 보여서 추가로 찾아보았다. 여기서는 그런 내용들을 정리할 것이다. 또 이와 관련된 문제를 만들었는데, 그것도 풀어볼 것이다.픽의 정리 꼭짓점이 격자점인 다각형에서 다각형의 내부에 있는 격자점의 수를 I 라고 하고, 다각형의 선분 위에 있는 격자점의 개수를 B라 할 때, 다각형의 넓이는                                                                        S = I + B/2 -1로 나타낼 수 있다.  이것이 무슨 의..

몬즈의 정리(Monge's Theorem)는 KMO 2차에 자주 나오는 정리로 근축에 대해 배울 때 꼭 배워야히는 정리 중 하나이다. 여기서는 몬즈의 정리와 이와 관련된 재미있는 문제 몇 개를 풀어볼 것이다.몬즈의 정리 : 세 원 A,B,C가 두 점에서 서로 교차할 때, 세 공통현은 한 점에서 만난다. ( 세 원의 근축들은 공점선이다.) 참고하면 좋은  사이트 : https://en.wikipedia.org/wiki/Power_center_(geometry) Power center (geometry) - WikipediaFrom Wikipedia, the free encyclopedia For 3 circles, the intersection of the radical axes of each pair D..